數(shù)學(xué)前沿課題探究：構(gòu)造性拓?fù)鋵W(xué)分析

數(shù)學(xué)

課題背景

拓?fù)鋵W(xué)(topology)，是研究幾何圖形或空間在連續(xù)改變形狀后還能保持不變的一些性質(zhì)的學(xué)科。它只考慮物體間的位置關(guān)系而不考慮它們的形狀和大小。在拓?fù)鋵W(xué)里，重要的拓?fù)湫再|(zhì)包括連通性與緊致性。你可以用任何你想要的方式拉伸、擠壓和彎曲你的物體，但你不允許把它分開或把不同的部分粘在一起。例如，從拓?fù)鋵W(xué)的觀點(diǎn)來看，地球表面是一個(gè)球體，因?yàn)樗梢宰冃纬梢粋€(gè)完美的圓形球體。事實(shí)上，地球表面不是圓的，所以從幾何學(xué)的觀點(diǎn)來看，它不是一個(gè)球體。同樣地，從拓?fù)鋵W(xué)的觀點(diǎn)來看，一個(gè)咖啡杯和一個(gè)甜甜圈是一樣的，因?yàn)槟憧梢园岩粋€(gè)變成另一個(gè)。

構(gòu)造邏輯和更一般的構(gòu)造數(shù)學(xué)處理對(duì)象，例如數(shù)字，它可以作為某些有限計(jì)算機(jī)算法的輸出而生成。任何計(jì)算機(jī)算法都可以用它的二進(jìn)制代碼來表示，所以用這種方法可以得到的所有可能的數(shù)的集合都可以用正整數(shù)來枚舉。根據(jù)定義，這意味著所有算法的集合，因此所有的構(gòu)造數(shù)都是可計(jì)數(shù)的。所有有理數(shù)的集合也是可數(shù)的但令人驚訝的是所有無理數(shù)的集合是不可數(shù)的。

課題內(nèi)容

在這門課中，我們將著重于理解陳述并使用構(gòu)造數(shù)學(xué)中的一些重要結(jié)果。 我們還將涵蓋“分析”和“拓?fù)洹奔囊恍┗靖拍詈投ɡ?。參與本課程的學(xué)生將分成幾個(gè)小組，研究項(xiàng)目，以探討在構(gòu)造性世界中，分析和拓?fù)鋵W(xué)中的一些基本定理的陳述在多大程度上得到了延續(xù)。

適合人群

對(duì)數(shù)學(xué)拓?fù)?，幾何圖形感興趣的高中生，本科生 

修讀數(shù)學(xué)專業(yè)，以及未來希望在應(yīng)用數(shù)學(xué)，計(jì)算機(jī)科學(xué)，物理學(xué)，生物等領(lǐng)域從業(yè)的學(xué)生 

具備微積分II, 或與此相當(dāng)課程的學(xué)生優(yōu)先 

建議提前掌握一元函數(shù)積分，微分基礎(chǔ)，基本計(jì)算機(jī)算法，二進(jìn)制代碼等專業(yè)知識(shí)

教授介紹

達(dá)特茅斯學(xué)院數(shù)學(xué)系終身教授

達(dá)特茅斯學(xué)院塞耶獎(jiǎng)數(shù)學(xué)競賽委員會(huì)主席

達(dá)特茅斯學(xué)院研究生招生委員會(huì)委員

微積分之外的數(shù)學(xué)概論”課程發(fā)展委員會(huì)成員

達(dá)特茅斯大學(xué)本科生數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)”教師顧問

曾獲達(dá)特茅斯學(xué)院秋季高級(jí)教師獎(jiǎng)

曾獲西蒙斯基金會(huì)頒發(fā) “數(shù)學(xué)家合作獎(jiǎng)”

課程安排與收獲

10周在線小組科研（總計(jì)72課時(shí)）

網(wǎng)申推薦信

學(xué)術(shù)評(píng)估報(bào)告

項(xiàng)目成績單

論文成果

* 課時(shí)包含：導(dǎo)師課程36課時(shí)+助教課程30課時(shí)+寫作課程6課時(shí)，不包含先修課課時(shí)
* 完成研究后滿足學(xué)術(shù)條件和教授要求可獲得推薦信，教授將嚴(yán)格按照學(xué)生實(shí)際表現(xiàn)對(duì)學(xué)生進(jìn)行客觀評(píng)價(jià)。